10 Sifat Logaritma, Penjelasan, Contoh Soal, dan Pembahasannya

Liputan6.com, Jakarta - Logaritma adalah konsep matematika yang penting dan sering digunakan dalam berbagai bidang. Sifat logaritma menjelaskan bagaimana logaritma bekerja dalam operasi matematika seperti perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Ada sepuluh sifat logaritma yang perlu diketahui, seperti dijelaskan dalam buku Rumus Kantong Matematika SMA oleh Aryo Dewantara, Ssi, dan buku Matematika oleh Marsigit, dkk.

Logaritma merupakan invers atau kebalikan dari eksponen, digunakan untuk menentukan besaran pangkat pada bilangan pokok. Menurut buku Matematika oleh Marsigit, logaritma membantu mengubah bentuk perpangkatan menjadi bentuk logaritma dan sebaliknya. Hal ini memudahkan perhitungan yang melibatkan angka besar atau kecil, yang biasanya sulit dilakukan dengan cara biasa.

Cara mudah mengingat sifat logaritma adalah dengan memahami hubungan dasar antara eksponen dan logaritma. Misalnya, logaritma dari hasil bagi dua bilangan sama dengan selisih logaritma bilangan tersebut. Memahami dan menghafal sifat-sifat ini, seperti dijelaskan dalam sumber-sumber di atas, kita dapat lebih mudah menyelesaikan soal-soal logaritma.

Berikut Liputan6.com ulas lebih mendalam sepuluh sifat logaritma yang dimaksudkan, Kamis (30/5/2024).

Penjelasan: Sifat logaritma ini menyatakan bahwa logaritma dari suatu bilangan terhadap dirinya sendiri selalu bernilai 1. Secara matematis, ini berarti jika kita memiliki basis logaritma a, maka logaritma dari a terhadap a adalah 1.

Contoh Soal: Hitung nilai ₂log 2.

Pembahasan: Berdasarkan sifat logaritma, ₂log 2 = 1. Jadi, logaritma 2 dengan basis 2 adalah 1.

2. ªlog 1 = 0

Penjelasan: Sifat logaritma ini menyatakan bahwa logaritma dari 1 dengan basis berapa pun selalu bernilai 0. Hal ini karena setiap bilangan yang dipangkatkan dengan 0 akan menghasilkan 1.

Contoh Soal: Hitung nilai ₅log 1.

Pembahasan: Berdasarkan sifat logaritma, ₅log 1 = 0. Jadi, logaritma 1 dengan basis 5 adalah 0.

3. ªlog aˣ = x

Penjelasan: Sifat logaritma ini menunjukkan bahwa jika kita memiliki logaritma dari a pangkat x dengan basis a, maka hasilnya adalah x. Ini menunjukkan hubungan antara logaritma dan eksponensial.

Contoh Soal: Hitung nilai ₃log 3².

Pembahasan: Berdasarkan sifat logaritma, ₃log 3² = 2. Jadi, logaritma dari 3 pangkat 2 dengan basis 3 adalah 2.

4. aªlog x = x

Penjelasan: Sifat logaritma ini menyatakan bahwa jika kita memiliki suatu bilangan a yang dipangkatkan dengan logaritma x terhadap a, maka hasilnya adalah x. Ini menunjukkan bahwa eksponensial dan logaritma adalah operasi invers satu sama lain.

Contoh Soal: Hitung nilai 4²log 2.

Pembahasan: Berdasarkan sifat logaritma, 4²log 2 = 2. Jadi, 4 dipangkatkan dengan logaritma 2 terhadap 4 adalah 2.

5. ªlog xy = ªlog x + ªlog y

Penjelasan: Sifat logaritma ini menunjukkan bahwa logaritma dari hasil kali dua bilangan x dan y dengan basis a adalah sama dengan jumlah logaritma x dan logaritma y dengan basis yang sama. Ini dikenal sebagai sifat logaritma dari hasil kali.

Contoh Soal: Hitung nilai ₂log 8 + ₂log 4.

Pembahasan: Berdasarkan sifat logaritma, kita dapat menghitung: ₂log 8 = ₂log (2³) = 3 ₂log 4 = ₂log (2²) = 2 Jadi, ₂log 8 + ₂log 4 = 3 + 2 = 5.

Verifikasi dengan menggunakan sifat logaritma: ₂log (8 * 4) = ₂log 32 = ₂log (2⁵) = 5. Hasilnya sama, yaitu 5.

Penjelasan: Sifat logaritma ini menyatakan bahwa logaritma dari hasil bagi dua bilangan x dan y dengan basis a sama dengan selisih antara logaritma x dan logaritma y dengan basis yang sama. Ini sering digunakan untuk menyederhanakan perhitungan logaritma dari pecahan.

Contoh Soal: Hitung nilai ₃log (27/3).

Pembahasan: Berdasarkan sifat logaritma: ₃log (27/3) = ₃log 27 - ₃log 3 Kita tahu bahwa: ₃log 27 = ₃log (3³) = 3 ₃log 3 = 1 Jadi: ₃log (27/3) = 3 - 1 = 2.

7. ªlog xⁿ = n ªlog x

Penjelasan: Sifat logaritma ini menyatakan bahwa logaritma dari x pangkat n dengan basis a sama dengan n dikalikan logaritma x dengan basis a. Sifat ini sangat berguna ketika kita perlu memindahkan eksponen ke depan logaritma untuk mempermudah perhitungan.

Contoh Soal: Hitung nilai ₂log (8²).

Pembahasan: Berdasarkan sifat logaritma: ₂log (8²) = 2 * ₂log 8 Kita tahu bahwa: ₂log 8 = ₃log (2³) = 3 Jadi: ₂log (8²) = 2 * 3 = 6.

8. ªlog ⁿ√x = 1/n ªlog x

Penjelasan: Sifat logaritma ini menyatakan bahwa logaritma dari akar ke-n dari x dengan basis a sama dengan 1/n dikalikan logaritma x dengan basis a. Ini membantu dalam memecah akar menjadi bentuk yang lebih sederhana dalam logaritma.

Contoh Soal: Hitung nilai ₄log √16.

Pembahasan: Berdasarkan sifat logaritma: ₄log √16 = ₄log 16^(1/2) = (1/2) * ₄log 16 Kita tahu bahwa: ₄log 16 = ₄log (4²) = 2 Jadi: ₄log √16 = (1/2) * 2 = 1.

9. ªlog x = ªlog y, di mana x = y

Penjelasan: Sifat logaritma ini menyatakan bahwa jika logaritma dua bilangan x dan y dengan basis a sama, maka x dan y harus sama. Ini menunjukkan bahwa logaritma adalah fungsi satu-ke-satu.

Contoh Soal: Jika ₅log x = ₅log 25, berapakah nilai x?

Pembahasan: Berdasarkan sifat logaritma: Jika ₅log x = ₅log 25, maka x = 25.

10. ªlog x / ªlog y = ylog x

Penjelasan: Sifat logaritma ini menyatakan bahwa perbandingan antara logaritma x dan logaritma y dengan basis a sama dengan logaritma x dengan basis y. Ini dikenal sebagai perubahan basis logaritma dan sangat berguna dalam konversi basis logaritma.

Contoh Soal: Hitung nilai ₃log 81 / ₃log 9.

Pembahasan: Berdasarkan sifat logaritma: ₃log 81 / ₃log 9 = ₉log 81 Kita tahu bahwa: 81 = 9², sehingga: ₉log 81 = 2.

Setiap sifat logaritma di atas memberikan cara untuk menyederhanakan perhitungan yang melibatkan logaritma, membuatnya lebih mudah untuk menangani berbagai operasi matematika yang kompleks.